Использовать $ionicPopover

Это сервис, включенный в ионную инфраструктуру, которая обеспечивает то, что вы ищете.

Вот пример из проекта, который я работал несколько месяцев назад:

события, выпадающий-view.html

<ion-popover-view>
    <ion-content has-bouncing="true">
        <div class="list">
            <a class="item" ui-sref='create-event' ng-click="vm.popover.hide()" >
                New Event
            </a>
        </div>
    </ion-content>
</ion-popover-view>

события-view.html

<button class="button button-icon" ng-click="vm.popover.show($event)"> <i class="icon ion-android-more-vertical"></i></button>

controller.js

app.controller("EventsController", function ($scope, $ionicPopover) {
    var vm = this;

    // Popover ( a.k.a dropdown )
    // ----------------------------------

    $ionicPopover.fromTemplateUrl('src/events/events-dropdown-view.html', {
        scope: $scope
    }).then(function (popover) {
        vm.popover = popover;
    });

    // ----------------------------------

    // ...

Я не знаю, поможет ли это. Это помогло мне в той же проблеме http://ionicframework.com/docs/components/#select

<div class="list">


<label class="item item-input item-select">
    <div class="input-label">
      Lightsaber
    </div>
    <select>
      <option>Blue</option>
      <option selected>Green</option>
      <option>Red</option>
    </select>
  </label>

</div>