Несовершенство деления с плавающей точкой

Question

Несовершенство деления с плавающей точкой

0

Я знаю, что плавающая точка не идеальна, либо она float либо double, но означает ли это, что когда я делю одно число с плавающей запятой на другое, и дивиденд делится делителем без напоминания (например, 10000.0 делится на 10.0), возможно ли, что я получаю номер с.99999999... в конце, который меньше, чем правильный результат крошечной фракцией. Может ли такое произойти с плавающей точкой?

Мне нужно знать, потому что мне нужно использовать функцию floor после деления, и это будет иметь огромное значение, если деления с плавающей запятой действительно несовершенны.

Desmond Hume 09 июнь 2014, в 21:09

Источник

2

Да, это возможно, прочитайте [Что должен знать каждый учёный-компьютерщик об арифметике с плавающей точкой] [1]. [1]: docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html
101010 09 июнь 2014, в 18:28
1

Следуя стандарту C / C ++, это будет поведение, определяемое реализацией. По IEEE, если результат будет точным, он будет точным. т.е. 1000 / 10 никогда не даст 99.9999999
Mysticial 09 июнь 2014, в 18:30
0

Если вы хотите 100% точности, вы можете спроектировать и реализовать класс, который поддерживает все арифметические операции над рациональным числом (состоящим из целого числа и целого знаменателя). Например, посмотрите полностью протестированный такой класс на github.com/barakman/Num .
barak manos 09 июнь 2014, в 18:31
4

@40two 40 два Что заставляет вас думать, что цитируемый вами документ поддерживает ответ «да»? Я думаю, что он поддерживает ответ «нет», в частности предложение «В дополнение к основным операциям +, -, × и /, стандарт IEEE также указывает, что квадратный корень, остаток и преобразование между целым числом и плавающей точкой должны быть правильно округлены «.
Pascal Cuoq 09 июнь 2014, в 18:33
0

@PascalCuoq Стандарт мало говорит о реализации типов с плавающей запятой (даже если IEEE почти универсален). AFAICT, это законно для 10 / 1. вернуться -375.456 , если реализация имеет «много ошибок округления».
Mysticial 09 июнь 2014, в 18:38
0

Короче говоря, числа с плавающей точкой в двоичном виде . Так что вы должны думать о дробях в двоичном виде. В основном, если у вас достаточно точности и диапазона, достаточно битов в мантиссе и показателе степени, деление и умножение на 2 только увеличивает / уменьшают показатель степени, и является точным. Все остальное (включая преобразование десятичного числа в исходном коде в двоичное число с плавающей запятой) является более сложным.
hyde 09 июнь 2014, в 18:42
1

@Mysticial: Приложение F к стандарту C11 описывает поддержку C для IEC 60559, который в основном является IEEE 754 под другим названием. В частности, для любой реализации, которая определяет __STDC_IEC_559__ , float является двоичным32, double является двоичным 64, и + , - , * и / являются операциями IEEE 754 + , - , * и / , которые должны быть правильно округлены в соответствии с Стандарт IEEE.
user2357112 09 июнь 2014, в 18:44
1

@Mysticial Подожди, у меня возникло обсуждение «Я не читал, но WECSSKAFPA говорит, что арифметика IEEE 754 всегда приблизительна», я не могу отвлечься от обсуждения «Стандарт C на самом деле не требует IEEE 754» , :)
Pascal Cuoq 09 июнь 2014, в 18:49
0

Кстати, интересным следствием является то, что вы можете выполнять точное деление даже при наличии остатка: сначала используйте fmod чтобы извлечь ( всегда точный) остаток и вычесть его, а затем выполнить точное деление, которое осталось.
R.. 09 июнь 2014, в 19:07

Показать ещё 7 комментариев

Теги:

c++

floating-point

c

division

2 ответа

2

Предполагая, что аппаратное обеспечение использует разделение с плавающей запятой IEEE 754, ключевой проблемой является то, являются ли операнды натурального числа точно отображаемыми.

Прежде всего, форматы имеют конечный диапазон. Естественных чисел нет. Однако даже 32-битный двоичный предел с плавающей запятой, около 10 ^ 38, достаточно велик для большинства практических целей.

В пределах этого диапазона сводится к тому, что натуральное число может быть выражено как 1.x*2^n где n - целое число, а 1.x - двоичная дробь с не более чем 23 битами после двоичной точки. Все натуральные числа, которые соответствуют 24 битам, удовлетворяют этому условию. Так что все силы двух, которые находятся в радиусе действия.

В общем, большие поплавки с большими показателями имеют больший разрыв между последовательными значениями. До 24-битных naturals пробел не больше 1, поэтому все натуральные числа могут быть представлены. На следующем шаге пробел равен 2, затем 4, затем 8... по мере увеличения показателя.

Patricia Shanahan 09 июнь 2014, в 20:53

Ещё вопросы

Да, это возможно, прочитайте [Что должен знать каждый учёный-компьютерщик об арифметике с плавающей точкой] [1]. [1]: docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html
Следуя стандарту C / C ++, это будет поведение, определяемое реализацией. По IEEE, если результат будет точным, он будет точным. т.е. 1000 / 10 никогда не даст 99.9999999
Если вы хотите 100% точности, вы можете спроектировать и реализовать класс, который поддерживает все арифметические операции над рациональным числом (состоящим из целого числа и целого знаменателя). Например, посмотрите полностью протестированный такой класс на github.com/barakman/Num .
@40two 40 два Что заставляет вас думать, что цитируемый вами документ поддерживает ответ «да»? Я думаю, что он поддерживает ответ «нет», в частности предложение «В дополнение к основным операциям +, -, × и /, стандарт IEEE также указывает, что квадратный корень, остаток и преобразование между целым числом и плавающей точкой должны быть правильно округлены «.
@PascalCuoq Стандарт мало говорит о реализации типов с плавающей запятой (даже если IEEE почти универсален). AFAICT, это законно для 10 / 1. вернуться -375.456 , если реализация имеет «много ошибок округления».
Короче говоря, числа с плавающей точкой в двоичном виде . Так что вы должны думать о дробях в двоичном виде. В основном, если у вас достаточно точности и диапазона, достаточно битов в мантиссе и показателе степени, деление и умножение на 2 только увеличивает / уменьшают показатель степени, и является точным. Все остальное (включая преобразование десятичного числа в исходном коде в двоичное число с плавающей запятой) является более сложным.
@Mysticial: Приложение F к стандарту C11 описывает поддержку C для IEC 60559, который в основном является IEEE 754 под другим названием. В частности, для любой реализации, которая определяет __STDC_IEC_559__ , float является двоичным32, double является двоичным 64, и + , - , * и / являются операциями IEEE 754 + , - , * и / , которые должны быть правильно округлены в соответствии с Стандарт IEEE.
@Mysticial Подожди, у меня возникло обсуждение «Я не читал, но WECSSKAFPA говорит, что арифметика IEEE 754 всегда приблизительна», я не могу отвлечься от обсуждения «Стандарт C на самом деле не требует IEEE 754» , :)
Кстати, интересным следствием является то, что вы можете выполнять точное деление даже при наличии остатка: сначала используйте fmod чтобы извлечь ( всегда точный) остаток и вычесть его, а затем выполнить точное деление, которое осталось.

Pascal Cuoq · Accepted Answer · 2014-06-09T17-14-00.000Z

означает ли это, что когда я делю одно число с плавающей запятой на другое, и дивиденд делится делителем без напоминания (например, 10000.0 делится на 10.0), возможно, что я получаю номер с.99999999... при конец

Нет. Разделение IEEE 754 правильно округлено. Если в результате будет представлен число с плавающей запятой (1000 в вашем примере), это результат, который вы получите для деления.

Что может случиться, так это то, что вы не делите числа, о которых вы думаете, потому что вы написали 0.1 и вы думаете, что это представляет математическое значение 0.1. В этом случае конечный результат может быть неожиданным, но это не ошибка деления с плавающей запятой.

До тех пор, пока вы знаете, что вы делите числа, которые вы имеете в виду, если математический результат деления есть, скажем, целое число ниже 2 ²⁴ то результатом деления с плавающей запятой будет это целое число.

Поэтому независимо от того, насколько велики или малы числа, поскольку они представляют собой натуральные числа без дробной части и одно делится на другое, я не получаю дробной части в результирующем числе после деления на любом ЦП при компиляции с GCC / MVC ?
Нет, только если все три числа, два входа и результат точно представимы.
@DesmondHume «независимо от того, насколько велики или малы числа, если они представляют собой натуральные числа без дробной части…» Да, но учтите, что некоторые натуральные числа больше 2 ^ 24 не могут быть представлены в виде числа с float (ограничение 2 ^ 53 за double ). «На любом процессоре» Это должен быть процессор (и платформа для компиляции), который реализует IEEE 754 хотя бы приблизительно. Любое из заклинаний IA-32, x86-64 или современных ARM подойдет.