Сложность времени - плохая рекурсия - британские комбинации изменений

Недавно я придумал наивное (+ бедное) решение Британской проблемы изменения (т.е. Сколько комбинаций монет может генерировать данное общее количество). Теперь у меня есть лучшее решение, но мы все еще заинтересованы в решении временной и пространственной сложности этих двух решений ниже.

Худшее решение

Это решение рекурсивно пытается комбинировать каждое число с самим собой и с любым другим числом, что приводит к многократной работе. Я считаю это O (n ^ n) временем и не уверен, как измерить сложность пространства (но он огромный, поскольку мы сохраняем каждый результат). Мысли?

var makeChange = function(total){ // in pence
  var allSets = new Set();
  var coins = [1,2,5,10,20,50,100,200];

  var subroutine = (arr, total) => {
    if(total < 0){ return; }
    if(total === 0){
      allSets.add(''+arr);
    } else {
      // increase each coin amount by one and decrease the recursive total by one
      for(var i = 0; i<coins.length; i++){
        if((total - coins[i]) >= 0){
          subroutine(arr.slice(0,i).concat(arr[i]+1).concat(arr.slice(i+1)), (total - coins[i]))
        }
      }
    }
  };

  var zeros = new Array(coins.length).fill(0);
  subroutine(zeros, total);
  return allSets.size;
};

Улучшенное решение

Это решение все еще имеет огромную пространственную сложность, но я считаю, что временная сложность имеет-улучшенную до O (n!), Так как мы каждый раз рекурсируем на меньших подмножествах монет.

var makeChange = function(total){ // in pence
  var allSets = new Set();
  var coins = [1,2,5,10,20,50,100,200];

  var subroutine = (arr, total, start) => {
    if(total < 0){ return; }
    if(total === 0){
      console.log(''+arr);
      allSets.add(''+arr);
    } else {
      // only solve for coins above start, since lower coins already solved
      for(var i = start; i<coins.length; i++){
        if((total - coins[i]) >= 0){
          subroutine(arr.slice(0,i).concat(arr[i]+1).concat(arr.slice(i+1)), (total - coins[i]), i);
        }
      }
    }
  };

  var zeros = new Array(coins.length).fill(0);
  for(let i = 0; i<coins.length; i++){
    subroutine(zeros, total, i);
  }

  return allSets.size;
};

Пожалуйста, помогите мне понять, правильны ли мои оценки сложности времени и пространства и как лучше оценить будущие проблемы, подобные этим. Спасибо!