Как заставить этот слайдер автоматически играть

Owl Carousel имеет два варианта, которые вы ищете, автовоспроизведение и автовоспроизведениеHoverPause.

Попробуй это:

$('.owl-carousel.testimonial-carousel').owlCarousel({
    nav: true,
    navText: ['<i class="fa fa-chevron-left"></i>', '<i class="fa fa-chevron-right"></i>'],
    dots: false,
    autoplay: true,
    autoplayHoverPause: true,
    loop: true,
    responsive: {
      0: {
        items: 1,
      },
      750: {
        items: 2,
      }
    }
  });

Вы можете найти список всех доступных здесь вариантов: https://owlcarousel2.github.io/OwlCarousel2/docs/api-options.html

Если вы используете этот плагин https://owlcarousel2.github.io, добавьте свойство autoplay: true для автовоспроизведения.

Для паузы на "mouseover" добавьте свойство autoplayHoverPause: true:

$(function() {
  $('.owl-carousel.testimonial-carousel').owlCarousel({
    nav: true,
    navText: ['<i class="fa fa-chevron-left"></i>', '<i class="fa fa-chevron-right"></i>'],
    dots: false,
    autoplay: true,
    autoplayHoverPause: true,
    responsive: {
      0: {
        items: 1,
      },
      750: {
        items: 2,
      }
    }
  });
});