Выполните вычисления на двух строках из запроса UNION

Вам совсем не нужен union ! Вот гораздо более простой способ написания запроса:

SELECT sum(user = 'None') / sum(user <> 'None')
FROM listens;

MySQL обрабатывает логическое выражение как число в числовом контексте, с 0 для false и 1 для true. Вышеприведенное число соответствует числу значений, соответствующих условиям.

Если вы хотите быть многословным или быть совместимым с другими диалектами SQL, вы можете сделать следующее:

SELECT (sum(case when user = 'None' then 1 else 0 end) /
        sum(case when user <> 'None' then 1 end)
       ) as ratio
FROM listens;

Я не вижу особого преимущества для многословия, если вы используете MySQL, но логика эквивалентна.