Как добавить один элемент в существующий спиннер?

Вы должны сохранить выходные данные метода db.GetStudentslist() в некотором поле (списке) в вашем классе (Activity). А когда вы хотите добавить/удалить/изменить элементы, просто измените список и обновите его в адаптере.

Я создал простой пример:

Деятельность

package training.com.myapplication;

import android.os.Bundle;
import android.support.annotation.Nullable;
import android.support.v7.app.AppCompatActivity;
import android.widget.ArrayAdapter;
import android.widget.Button;
import android.widget.Spinner;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class MainActivity extends AppCompatActivity {

    // List with three predefined elements
    private List<String> listOfElements = new ArrayList<>(Arrays.asList(
            "Hello world", "Hello world", "Hello world"
    ));

    // Adapter for the Spinner
    private ArrayAdapter<String> adapter;

    private Spinner spinner;

    private Button addButton;
    private Button removeButton;

    @Override
    protected void onCreate(@Nullable Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_main);

        // Initialize adapter
        adapter = new ArrayAdapter<>(this,
                android.R.layout.simple_spinner_item, listOfElements);

        spinner = findViewById(R.id.action_bar_spinner);

        addButton = findViewById(R.id.add_button);
        removeButton = findViewById(R.id.remove_button);

        // Set adapter
        spinner.setAdapter(adapter);

        addButton.setOnClickListener(view -> {
            // Add new element to the list
            listOfElements.add("Hello world");
        });

        removeButton.setOnClickListener(view -> {
            // Remove last item from the list
            int lastIndex = listOfElements.size() - 1;
            listOfElements.remove(lastIndex);
        });
    }
}

С простой версткой:

<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<LinearLayout xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
    android:layout_width="match_parent"
    android:layout_height="match_parent"
    android:layout_margin="40dp"
    android:orientation="vertical">

    <Spinner
        android:id="@+id/action_bar_spinner"
        android:layout_width="match_parent"
        android:layout_height="50dp" />

    <Button
        android:id="@+id/add_button"
        android:layout_width="match_parent"
        android:layout_height="wrap_content"
        android:layout_marginTop="20dp"
        android:text="+"
        android:textSize="30sp" />

    <Button
        android:id="@+id/remove_button"
        android:layout_width="match_parent"
        android:layout_height="wrap_content"
        android:layout_marginTop="20dp"
        android:text="-"
        android:textSize="30sp" />

</LinearLayout>

Ожидаемый результат

Если вы получаете данные в onActivityResult() вы можете сделать это таким же образом:

// Read data
String name = data.getStringExtra("name");

// Add to list
listOfElements.add(name);

Не забудьте начать деятельность правильно:

startActivityForResult(intent, GET_NEW_STUDENT_NAME);

и если вы хотите отправить данные обратно:

Intent returnIntent = new Intent();
returnIntent.putExtra("name",result);
setResult(Activity.RESULT_OK,returnIntent);
finish();

и в вашем onActivityResult() вы должны проверить два условия:

@Override
protected void onActivityResult(int requestCode, int resultCode, @Nullable Intent data) {
    // Check result
    if (resultCode == Activity.RESULT_OK) {
        // And check what was requested
        if (requestCode == GET_NEW_STUDENT_NAME) {
            String name = data.getStringExtra("name");
            listOfElements.add(name);
        }
    }
}

Я наконец получил это работает. Оказалось, что этот вопрос является дубликатом Unable для изменения ArrayAdapter в ListView: UnsupportedOperationException