Поэтому мой вопрос: как написать клиент http-протокола только с методами GET и POST на C или C++. Спасибо за ответ
Зависит немного от уровня здравомыслия, которого вы ожидаете испытать в непредвиденном будущем.
Разумный/куриный выход - использовать библиотеку. Безумный/интересный способ - написать его с нуля. Под этим я подразумеваю, что это (должно быть), очень весело писать, но в то же время там много библиотек. Конечно, в образовательных целях забавный способ абсолютно выполним, и благодаря сообществу RFC в значительной степени приятная задача.
Какие части стандарта для реализации только для методов GET и POST лучше всего обнаружить, прочитав RFC. Короче - это много.
Я рекомендую вам использовать libcurl. Если вы хотите создать собственную клиентскую библиотеку http, вы можете создать ее поверх Boost ASIO. Обе библиотеки отлично работают на платформах Linux и Windows.