Как запустить импульсную анимацию после ее остановки

Насколько я понимаю, метод .effect() не .effect() анимацию неограниченно, поэтому вам нужно продолжать называть ее каждый раз, когда она заканчивается, возможно, вызывая анимацию внутри функции, которая также предоставляется в качестве полного обратного вызова.

Что касается остановки, когда другой div отображается и перезагружается после этого, вы можете использовать флаг, чтобы решить, какой способ переключиться, возможно, что-то вроде этого:

function keepPulsing() {
    $pulse.effect("pulsate", 500, keepPulsing);
}
var pulsing = true,
    $pulse = jQuery(".pulse").click(function(){
        if (pulsing) {
            jQuery(".other").slideDown();
            jQuery(this).stop(true, true).css("opacity",1);
        } else {
            jQuery(".other").slideUp();
            keepPulsing();
        }
        pulsing = !pulsing;        
    });
keepPulsing();

Демо: http://jsfiddle.net/87hy2/