Когда я нажимаю кнопку, в текстарии пишется буква «А». Я хочу, чтобы всякий раз, когда я нажимал букву «А», он писал «А»

Используя непосредственно атрибут [value] элемента clicked:

$("input").click(function(){
    $("#text").val($("#text").val() + $(this).attr("value"));
})

$("input").click(function(){
  $('#text').text($('#text').text() + 'a');
});

Поэтому для textarea вы получаете свою ценность, используя .text()

Чтобы изменить значение, вы передаете значение в .text(value)

Поэтому каждый раз, когда вы нажимаете, мы получаем текущее значение $('#text').text() мы добавляем 'a' к нему + 'a'

Затем мы меняем значение текстовой области, передавая ее в .text() как это .text($('#text').text() + 'a')

http://jsfiddle.net/QXePf/1/

См. Полный код:

$("input").click(function(){
  $('#text').val($('#text').val() + 'A'); // add "A" when button is clicked
});

$(document).keyup(function(e) {
  if(e.keyCode == 65)
    $('#text').val($('#text').val() + 'A'); // add "A" when "A" in keyboard is pressed
});

Демо!