^ Не работает функция

Если вы посмотрите на ссылку API перевода Yandex, он попросил вас передать информацию для запроса, который вы делаете, в форме параметров (параметра). Эти параметры должны быть добавлены к URL-адресу запроса.

Другими способами получения информации от API с помощью запроса POST является передача информации в форме тела этого запроса.

Но API перевода Yandex с запросом POST запрашивает информацию, привязанную к URL-адресу.

var data = "key="+keyAPI+"&text="+textApi+"&lang="+langApi

эта переменная данных должна быть добавлена к переменной url, когда запрос POST добавляется в API. Но,

$http.post(url, data)

Вызов метода $ http делает данные интерпретированными как тело почтового запроса, а не добавляет переменную данных к URL-адресу при совершении вызова.

Более чистая и правильная реализация API-интерфейса $ http для AngularJS заключалась бы в том, чтобы поместить все параметры в объект, где ключи являются типом параметра, а значения - значениями параметров.

var params = {
      key: keyAPI,
      text:textApi,
      lang:langApi
}

Теперь в объекте params вы сохраняете всю информацию, которую хотите передать, делая запрос.

Во-вторых, вам нужно изменить запрос $ http, чтобы он знал, какие параметры должны быть добавлены к URL-адресу. Я использую более простой метод $ http вместо метода $ http.post, я четко укажу, какой должен быть базовый url, тип метода для HTTP-запроса и, наконец, параметры, которые должны передаваться с запросом API.

$http({
   url: url,
   method: 'POST',
   params: params
})
.success(function(data,headers,status,config){
  $scope.PostDataResponse = data;
  vm.data = data;
  console.log(data);
 })
.error(function(data,headers,status,config){
 $scope.ResponseDetails = "Data: " + data +
                "<hr />status: " + status +
                "<hr />headers: " + header +
                "<hr />config: " + config;
});

Еще одна вещь, которая была неправильной в вашем коде, была инициализация $ scope.PostDataResponse

 $scope.PostDataResponse = response.data; //You are not getting any argument named response by the success function call

Правильный способ сделать это будет $ scope.PostDataResponse = data;

Теперь, если вы запустите код с модификацией, он должен работать довольно хорошо.

Если все сделано правильно, то в консоли разработчика вы найдете объект, зарегистрированный после успеха запроса.

Объект с успехом вызова

На веб-странице также вы увидите тот же объект.