Обновление данных встроенного документа в MongoDB

В MongoDB, если у меня есть структура документа следующим образом:

{ "_id" : { "$binary" : "jchPoPd7PUS1w+sR7is23w==", "$type" : "03" }, 
"companies" : 
  [
    { "_id" : { "$binary" : "jchPoPd7PUS1w+sR7is23w==", "$type" : "03" },
       "name" : "Google" },
    { "_id" : { "$binary" : "jchPoPd7PUS1w+sR7is23w==", "$type" : "03" }, 
       "name" : "Greenfin" }, 
    { "_id" : { "$binary" : "jchPoPd7PUS1w+sR7is23w==", "$type" : "03" },
       "name" : "Zynet"   }
 ],
 "firstname" : "Peter", 
 "surname" : "Smith" }

(т.е. документ Person с массивом Companies, встроенным в документ человека), то как мне обновить ВСЕ вхождения определенной компании (цель через компанию _id) с помощью одного запроса + обновление?

Я пробовал следующее:

MongoCollection personCollection = mdb.GetCollection("person");
BsonBinaryData bin = new BsonBinaryData(new Guid("0AE91D6B-A8FA-4D0D-A94A-91D6AC9EE343"));
QueryComplete query = Query.EQ("companies._id", bin);
var update = Update.Set("companies.name", "GreenfinNewName");
SafeModeResult result = personCollection.Update(query, update, UpdateFlags.Multi);

но это не сработает. Думаю, мой вопрос сводится к двум вопросам: как настроить таргетинг на встроенные компании в исходный запрос, а затем как установить новое название компании в инструкции Set. Примечание. В этом примере я решил "денормализовать" данные компании и вставить ее в документ каждого человека, поэтому может быть несколько документов с одинаковым идентификатором и именем компании. Большое спасибо.

UPDATE: Используя технику Bugai13, я стал ближе. Это работает:

MongoCollection personCollection = mdb.GetCollection("person");
QueryComplete query = Query.EQ("companies.name", "Bluefin");
var update = Update.Set("companies.$.companynotes", "companynotes update via name worked");
SafeModeResult result = personCollection.Update(query, update, UpdateFlags.Multi, SafeMode.True);

Но это не работает:

MongoCollection personCollection = mdb.GetCollection("person");
BsonBinaryData bin = new BsonBinaryData(new Guid("0AE91D6B-A8FA-4D0D-A94A-91D6AC9EE343"));
Builders.QueryComplete query = Query.EQ("companies._id", bin);
var update = Update.Set("companies.$.companynotes", "companynotes update via id worked");
SafeModeResult result = personCollection.Update(query, update, UpdateFlags.Multi, SafeMode.True);

Итак, я пока не могу обновить с использованием первичного ключа, что мне нужно сделать...