Как отсортировать вектор <pair <int, pair <int, pair <string, pair <int, int>>>>>?

Вызовите std::sort(RandomIt first, RandomIt last) передав подходящую функцию сравнения как comp. Функция сравнения по умолчанию будет сравнивать элементы так, как вы их заказывали.

Для вашего конкретного случая будет использоваться сравнение по умолчанию в std::pair.

http://en.cppreference.com/w/cpp/utility/pair/operator_cmp

template< class T1, class T2 >
bool operator<( const pair<T1,T2>& lhs, const pair<T1,T2>& rhs );

Примените это правило с одним шагом рекурсии, чтобы убедиться, что это так:

Если lhs.first <rhs.first, возвращает true. В противном случае, если rhs.first <lhs.first, возвращает false. В противном случае, если lhs.second <rhs.second, возвращает true. В противном случае возвращает false.

В С++ 11, если вам нужно выбрать критерий сортировки во время выполнения, вы можете использовать лямбда для сравнения. Он должен принимать ссылки const на тип и возвращать bool.

Вот как это будет выглядеть.

typedef pair< int , pair< int , pair< string , pair< int , int > > > > MyComplexType;
std::vector<MyComplexType> v;
// fill v

// sort
auto complexLessThan = [](const MyComplexType& left, const MyComplexType& right)  -> bool
{
    // your sorting criterion here           
}

std::sort(v.begin(), v.end(), complexLessThan);