Как я могу заставить DIV делать это с помощью jquery?

Вам не нужен JavaScript для зависания. Создайте элемент, который будет использоваться в качестве подсказки и расположите его над кнопкой выпадающего меню. Затем сделайте родительский <div> для обоих. Ваш HTML должен выглядеть примерно так:

<div id="container">
    <div id="button">...</div>
    <div id="tooltip">...</div>
</div>

Как только вы это сделаете, вы можете использовать CSS для размещения всплывающей подсказки и отображения ее при необходимости.

#container {
    /* All child elements should be positioned relative to this one. */
    position: relative;
}

#container #tooltip {
    /* Hide by default. */
    display: none;
    /* Place the tooltip 2px above the button. */
    position: absolute;
    bottom: 2px;
    right: 0px;
}

#container #button:hover + #tooltip {
    /* Show it when someone hovering over the button. */
    display: block;
}

Чтобы отобразить раскрывающийся список, вам, вероятно, понадобится JavaScript. Добавьте еще один элемент в контейнер:

<div id="container">
    <div id="button">...</div>
    <div id="tooltip">...</div>
    <ul id="selection">
        <li>Something</li>
        <li>Something Else</li>
        <li>A Third Thing</li>
    </ul>
</div>

Поместите его так, как вам нравится, используя position: absolute и скройте его, используя display: none. Затем покажите его, когда мы нажимаем кнопку:

$('#button').click(function() {
    $('#selection').show();
});

Затем вы можете сделать свои подпозиции делать все, что им нравится, если они также скрывают #selection.

$('#selection li').click(function() {
    // do something
    $('#selection').hide();
});

Наконец, вы хотите изменить цвет фона и текста при наведении. Это достаточно легко:

#selection li {
    background-color: #ccc;
    color: black;
}

#selection li:hover {
    background-color: black;
    color: white;
}

Это не будет работать отлично в IE 6 или (я считаю) 7 - вам нужно будет исследовать альтернативные решения для этого. Или используйте JavaScript или зарегистрируйтесь IE7.js и IE8.js.