Что такое модуль heapq Python?

Ваша книга неверна! Как вы демонстрируете, куча не является отсортированным списком (хотя отсортированный список - это куча). Что такое куча? Чтобы процитировать руководство по проектированию алгоритма Skiena

Кучи - это простая и элегантная структура данных для эффективной поддержки операций вставки очереди приоритетов и извлечения-мин. Они работают, поддерживая частичный порядок на множестве элементов, который слабее упорядоченного порядка (поэтому он может быть эффективным для поддержания), но более сильного, чем случайный порядок (поэтому минимальный элемент можно быстро идентифицировать).

По сравнению с отсортированным списком куча подчиняется более слабому условию кучи-инварианта. Прежде чем определить его, сначала подумайте, почему расслабление может оказаться полезным. Ответ заключается в том, что более слабое состояние легче поддерживать. Вы можете делать меньше с кучей, но вы можете сделать это быстрее.

Куча имеет три операции:

• Find-Minimum - O (1)
• Вставить O (log n)
• Удалить-Min O (log n)

Crucially Insert - это O (log n), который превосходит O (n) для отсортированного списка.

Что такое инвариант кучи? "Бинарное дерево, где родители доминируют над своими детьми". То есть "p ≤ c для всех детей c из p". Skiena иллюстрирует изображения и продолжает демонстрировать алгоритм вставки элементов при сохранении инварианта. Если вы подумаете, вы можете сами их изобрести. (Подсказка: они известны как пузырь и пузырь вниз)

Хорошей новостью является то, что в комплекте с Python используются все элементы для вас, в модуле heapq. Он не определяет тип кучи (который, я думаю, будет проще использовать), но предоставляет их в качестве вспомогательных функций в списке.

Мораль: Если вы пишете алгоритм, используя отсортированный список, но только проверяете и удаляете его с одного конца, вы можете сделать алгоритм более эффективным с помощью кучи.

Для проблемы, в которой полезна структура данных кучи, читайте https://projecteuler.net/problem=500

Существует некоторая непонимания реализации структуры данных кучи. Модуль heapq фактически является вариантом реализации двоичной кучи, где элементы кучи хранятся в списке, как описано здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_heap#Heap_implementation

Цитата из Википедии:

Кучи обычно реализуются с помощью массива. Любое двоичное дерево может быть сохранено в массиве, но поскольку двоичная куча всегда является полным бинарным деревом, ее можно хранить компактно. Для указателей не требуется пространство; вместо этого родительский элемент и дочерние элементы каждого из них node могут быть найдены путем арифметики по индексам массива.

Этот снимок ниже поможет вам почувствовать разницу между представлением дерева и списком кучи и (обратите внимание, что это максимальная куча, которая является обратной обычной мини-куче!):

В целом структура данных кучи отличается от сортированного списка тем, что она жертвует некоторой информацией о том, больше или меньше какой-либо конкретный элемент, чем любой другой. Куча только может сказать, что этот конкретный элемент меньше, чем его родительский и больший, чем его дети. Чем меньше информации хранится структура данных, тем меньше времени/памяти требуется для ее изменения. Сравните сложность некоторых операций между кучей и отсортированным массивом:

        Heap                  Sorted array
        Average  Worst case   Average   Worst case

Space   O(n)     O(n)         O(n)      O(n)

Search  O(n)     O(n)         O(log n)  O(log n)

Insert  O(1)     O(log n)     O(n)      O(n)

Delete  O(log n) O(log n)     O(n)      O(n)