Как получить ключ java.util.map из значения

Вы можете рассматривать TreeSet<Map.Entry> а не TreeSet<Integer> (заполняя его с помощью entrySet с вашей существующей карты) и используя Comparator<Map.Entry>. Затем в вашей реализации Comparator<Map.Entry> сравните на основе значений. Затем у вас все еще есть ключи и значения, связанные друг с другом.

Как получить ключ первого элемента в отсортированных значениях.

Не самый эффективный способ, но вы можете вызвать этот метод с первым элементом вашего отсортированного Set. Этот метод предполагает, что на вашей Map есть ненулевые значения.

private String getKeyForValue(Integer value, Map<String, Integer> map) {
    for (Map.Entry<String, Integer> entry : map.entrySet()) {
        if (entry.getValue() == value) {
            return entry.getKey();
        }
    }
    throw new IllegalArgumentException("The value " + value + " was not found in the map.");
}

Map<String, Integer> map = new HashMap<String, Integer>();
for (Map.Entry<String, Integer> entry : map.entrySet()) {
    // do your sorting
}
// fetch the first entry here
entry.getKey();

Ваше требование не определено. Что делать, если два ключа сопоставляются с одним и тем же значением - какой из них следует извлечь?

Лучшее, что вы можете сделать, учитывая, что у вас есть карта, - это использовать entrySet() а не values(), который соединяет ключи со своими значениями. Затем вы можете отсортировать объекты Entry по значению и получить правильные ключи.

Однако, вероятно, было бы намного лучше просто сохранить другую Map в "противоположном направлении" в первую очередь. Предположительно, вы заселили это одно одновременно с заполнением первого, а затем вы могли бы использовать вторую Map для быстрого извлечения "ключей" из "значений". Что-то вроде этого:

Map<String, Integer> originalMap = new HashMap<String, Integer>();
Map<Integer, String> reverseLookup = new HashMap<Integer, String>();
// Populate both maps at the same time, with the same data (but reversed)...

for (Integer i : originalMap.values()) {
    System.out.println(reverseLookup.get(i));
}

Map<String, Integer> map = new HashMap<String,Integer>();
Set<Integer> set = new TreeSet<Integer>(map.values());

Iterator iter = set.iterator();

Integer firstValue = (Integer) iter.next();
String firstKey = null;
for(String key : map.keySet())
{
  if(map.get(key) == firstValue)
  {
    firstKey = key;
    break;
  }
}

Используйте Map.entrySet(), он содержит значения вместе со своими ключами.