вставлять и удалять целые числа на лету

Поскольку вы не заинтересованы в контейнерах STL (хотя я бы посоветовал вам изучить его, например, для vector), объявите массив любого максимального размера, который вы хотите

int arr[10];

Теперь получить доступ к элементам в массиве путем индексации и присвоить значение

arr[0] = 5;   //indexes start from 0 and in this case till 9

Или сохраните переменную для индекса как

int index = 0;

При вставке используйте:

arr[index] = value;
index++;

Создавая элемент в массиве, просто уменьшите индекс, чтобы указать, что последующие индексы свободны для заполнения.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

См. Следующий код:

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int arr[10];
    int choice;
    int num;
    int index = 0;
    do
    {
        cout<<"enter you choice:\n";
        cout<<"1. add number\n";
        cout<<"2. delete number\n";
        cout<<"3. display memory\n";
        cout<<"anything else to exit\n";
        cin>>choice;
        switch(choice)
        {
        case 1:
            if(index==10)
            {
                cout<<"no more space available\n";
            }
            else
            {
                cout<<"enter number: ";
                cin>>num;
                arr[index++] = num;
            }
            break;
        case 2:
            if(index==0)
            {
                cout<<"memory empty\n";
            }
            else
            {
                cout<<"item deleted!\n ";
                index--;
            }
            break;
        case 3:
            for(int i = 0;i<index;i++)
            {
                cout<<arr[i]<<'\t';
            }
            cout<<endl;
            break;
        default:
            cout<<"exiting.......";
        }
    }while(choice>0 && choice<4);
}