Пагинация запроса mysql + php занимает 20-40 секунд

Несколько комментариев, прежде чем рекомендовать другой подход к этому запросу:

• Вы SQL_CALC_FOUND_ROWS удалить SQL_CALC_FOUND_ROWS и вместо этого запустить два запроса (один, который подсчитывает, и тот, который выбирает данные)? В некоторых случаях это может быть быстрее, чем объединение их обоих в один запрос.
• Какова цель этих условий? Чего вы пытаетесь достичь? Можем ли мы удалить их (как кажется, они всегда могут возвращать true?) - AND DATE_FORMAT(st.date, '%H:%i') >= '00:00' AND DATE_FORMAT(st.date, '%H:%i') <= '23:59'
• Вам нужно всего 10 результатов, но базе данных придется запускать подзапросы "имена" для каждого из результатов до LIMIT (что может быть много?). Поэтому я бы рекомендовал извлечь подзапрос из предложения SELECT во временную таблицу, проиндексировать его и присоединиться к нему (см. Исправленный запрос ниже).

Чтобы оптимизировать запрос, давайте начнем с добавления этих индексов:

ALTER TABLE 'classes' ADD INDEX 'classes_index_1' ('id', 'name');
ALTER TABLE 'students' ADD INDEX 'students_index_1' ('active', 'user_id', 'class', 'name', 'date');
ALTER TABLE 'users' ADD INDEX 'users_index_1' ('user_id', 'full_name');

Теперь создайте временную таблицу (первоначально это был подзапрос в предложении SELECT) и проиндексировали ее:

-- Transformed subquery to a temp table to improve performance
CREATE TEMPORARY TABLE IF NOT EXISTS temp1 AS SELECT
        count(*) AS names,
        name 
    FROM
        students AS inner_st 
    WHERE
        1 = 1 
    GROUP BY
        name 
    ORDER BY
        NULL

-- This index is required for optimal temp tables performance
ALTER TABLE
  'temp1'
ADD
  INDEX 'temp1_index_1' ('name', 'names');

И измененный запрос:

SELECT
        SQL_CALC_FOUND_ROWS st.id,
        st.date,
        st.image,
        st.user_id,
        st.status,
        ck.name AS class_name,
        users.full_name,
        temp1.names 
    FROM
        students AS st 
    LEFT JOIN
        users 
            ON st.user_id = users.user_id 
    LEFT JOIN
        classes AS ck 
            ON st.class = ck.id 
    LEFT JOIN
        temp1 
            ON st.name = temp1.name 
    WHERE
        st.date BETWEEN '2018-01-17' AND DATE_ADD('2018-01-17', INTERVAL 1 DAY) 
        AND st.active = 1 
    ORDER BY
        st.date DESC LIMIT 0,
        10

Попробуйте сначала:

INDEX(active, date)

Пользователь user_id PK для users? Является ли class_id PK для classes? Если нет, то они должны быть INDEXed.

Почему вы проверяете время раздельно?

Исправьте тест, так что очевидно, какая таблица находится в каждом столбце.

Вам действительно нужно LEFT JOIN? Или JOIN хватает? В последнем случае есть больше вариантов оптимизации.

Дайте некоторые реалистичные примеры других SELECTs; может потребоваться другой индекс (ы).

"Первая" страница медленная? Или только более поздние страницы? См. Это для оптимизации разбиения на страницы - не используя OFFSET.