Как JButton должен отслеживать свою позицию в GridLayout?

Вы можете просто создать класс, расширяющий JButton и добавив два поля для позиции в сетке. Создайте новый конструктор (или сеттеры), который присваивает значения этим полям, и два простых геттера, которые возвратят их.

Пример:

class MyJButton extends JButton {

    private int gridx;
    private int gridy;

    public MyJButton(String label, int gridx, int gridy) {
        super(label);
        this.gridx = gridx;
        this.gridy = gridy;
    }

    public int getGridx() {
        return gridx;
    }

    public int getGridy() {
        return gridy;
    }
}

Вы можете назначить эти gridx, gridy значения при создании графического интерфейса. Например, следующее создает 16 кнопок, помеченных их позицией в сетке:

for (int i = 0; i < 4; i++) {
    for (int j = 0; j < 4; j++) {
        MyJButton btn = new MyJButton(i + "," + j, i, j);
        //Configure your button here...
        panel.add(btn);
    }
}