Как я могу выполнить что-то после завершения загрузки нового окна?

Если ваше окно находится в одном домене, вы можете использовать это:

 my_window.onload = function() {my_window.close();};

или это:

my_window.addEventListener('load', function() {my_window.close();}, true);

Вы не используете parens после имени функции при передаче ссылки на обычную функцию. Использование parens, как вы делали, вызывает немедленное выполнение функции.

Я также добавил анонимные функции, поэтому контекст my_window можно сохранить до времени выполнения функции.

Если ваше окно не находится в одном домене, у вас, вероятно, есть проблемы с одинаковыми защитами, которые не позволяют вам получить доступ к javascript другого окна.