Оптимизация планирования для минимизации количества временных интервалов (с ограничениями)

1

Я работаю над проблемой оптимизации планирования, где у нас есть набор задач, которые необходимо выполнить в течение определенного периода времени.

Каждая задача имеет расписание, которое указывает список временных интервалов, когда это может быть выполнено. Расписание для каждой задачи может отличаться в зависимости от дня недели.

Вот небольшой пример (уменьшенное количество задач и временных интервалов):

task_availability_map = {
    "T1" : [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    "T2" : [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    "T3" : [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    "T4" : [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    "T5" : [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    "T6" : [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0],
    "T7" : [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0],
    "T8" : [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0],
    "T9" : [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    "T10": [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
}

Ограничение состоит в том, что в пределах одного и того же временного интервала может выполняться только до N задач (если они перекрываются). Группа параллельных задач всегда занимает одинаковое время независимо от того, выполняются ли 1 или N.

Цель состоит в том, чтобы минимизировать количество временных интервалов.

Я пробовал подход грубой силы, который генерирует все перестановки индексов временного интервала. Для каждого индекса в заданной перестановке получите все задачи, которые можно запланировать, и добавьте их в список задач, которые будут исключены на следующей итерации. Когда все итерации для данной перестановки завершены, добавьте количество временных интервалов и комбинацию индексов в список.

def get_tasks_by_timeslot(timeslot, tasks_to_exclude):
    for task in task_availability_map.keys():
        if task in tasks_to_exclude:
            continue
        if task_availability_map[task][timeslot] == 1:
            yield task

total_timeslot_count = len(task_availability_map.values()[0]) # 17
timeslot_indices = range(total_timeslot_count)

timeslot_index_permutations = list(itertools.permutations(timeslot_indices))

possible_schedules = []

for timeslot_variation in timeslot_index_permutations:
    tasks_already_scheduled = []
    current_schedule = []
    for t in timeslot_variation:
        tasks = list(get_tasks_by_timeslot(t, tasks_already_scheduled))
        if len(tasks) == 0:
            continue
        elif len(tasks) > MAX_PARALLEL_TASKS:
            break
        tasks_already_scheduled += tasks
        current_schedule.append(tasks)

    time_slot_count = np.sum([len(t) for t in current_schedule])
    possible_schedules.append([time_slot_count, timeslot_variation])

...

Сортируйте возможные расписания по количеству временных интервалов и этому решению. Тем не менее, этот алгоритм растет по сложности экспоненциально с количеством временных интервалов. Учитывая, что есть сотни задач и сотни временных интервалов, мне нужен другой подход.

Кто-то предложил LP MIP (например, Google OR Tools), но я не очень хорошо знаком с этим, и мне сложно формулировать ограничения в коде. Любая помощь с LP или некоторым другим решением, которое может помочь мне начать работу в правильном направлении, очень ценится (не обязательно Python, может даже быть Excel).

  • 2
    Попробуйте ограниченное программирование, оно будет казаться более интуитивным, чем LP, и может легко решить проблему такого типа.
  • 0
    Если вы хотите придерживаться Python, вы можете проверить numberjack для решения CSP: github.com/eomahony/Numberjack
Показать ещё 1 комментарий
Теги:
algorithm
linear-programming
job-scheduling
minimization

1 ответ

1
Лучший ответ

Мое предложение по модели MIP:

Ввести двоичные переменные:

x(i,t) = 1 if task i is assigned to slot t
         0 otherwise

y(t) = 1 if slot t has at least one task assigned to it
       0 otherwise

Кроме того, пусть:

N = max number of tasks per slot
ok(i,t) = 1 if we are allowed to assign task i to slot t
          0 otherwise

Тогда модель может выглядеть так:

minimize sum(t,y(t))                    (minimize used slots)    
sum(t, ok(i,t)*x(i,t)) = 1   for all i  (each task is assigned to exactly one slot)      
sum(i, ok(i,t)*x(i,t)) <= N  for all t  (capacity constraint for each slot)
y(t) >= x(i,t)  for all (i,t) such that ok(i,t)=1
x(i,t),y(t) in {0,1}                    (binary variables)

Используя N=3, я получаю решение вроде:

----     45 VARIABLE x.L  assignment

                s5          s6          s7         s13

task1                    1.000
task2                                1.000
task3                    1.000
task4                    1.000
task5        1.000
task6                                            1.000
task7                                            1.000
task8                                            1.000
task9                                1.000
task10                               1.000

Модель довольно проста, и ее не очень сложно кодировать и решать с помощью любимого MIP-решения. Единственное, что вы хотите убедиться в том, что существуют только переменные x(i,t) когда ok(i,t)=1. Другими словами, убедитесь, что переменные не отображаются в модели, когда ok(i,t)=0. Это может помочь интерпретировать ограничения назначения как:

sum(t | ok(i,t)=1, x(i,t)) = 1   for all i  (each task is assigned to exactly one slot)      
sum(i | ok(i,t)=1, x(i,t)) <= N  for all t  (capacity constraint for each slot)

где | означает "такое, что" или "where". Если вы сделаете это правильно, ваша модель должна иметь 50 переменных x(i,t) вместо 10 x 17 = 170. Кроме того, мы можем расслабиться y(t) чтобы быть непрерывным между 0 и 1. Он будет либо 0, либо 1 автоматически, В зависимости от решателя, который может повлиять на производительность.

У меня нет оснований полагать, что это легче моделировать как модель программирования ограничений или что ее проще решить. Мое эмпирическое правило состоит в том, что легко моделировать как MIP-палку для MIP. Если нам нужно пройти много обручей, чтобы сделать его подходящим MIP, а формулировка CP облегчит жизнь, затем используйте CP. Во многих случаях это простое правило работает очень хорошо.

Поделиться
  • 0
    Спасибо! :) Это заняло целый день проб и ошибок, но я, наконец, понял, как определить более сложные цели и ограничения в Python (в итоге решил это в PuLP).

Ещё вопросы

Сообщество Overcoder
Наверх
Меню