Слушайте события консоли браузера и ошибки

Да, вы можете просто переопределить консольный метод, например

var logFn = console.log;

console.log = function(arg1) {
   // do your work on log information
   logFn('your console hacked')
}

console.error = function(arg1) {
       // do your work on error part
       logFn('your console hacked')
    }

вы найдете на консоли только одно сообщение "ваша консоль взломана", которую вы можете настроить в соответствии с вами.