Использовать FirebaseAuth

в вашем контроллере вы используете массив firebase не Auth. Это выдержка из правильного пути auth с помощью firebase.

// define our app and dependencies (remember to include firebase!)
var app = angular.module("sampleApp", ["firebase"]);
// inject $firebaseAuth into our controller
app.controller("SampleCtrl", ["$scope", "$firebaseAuth",
  function($scope, $firebaseAuth) {
    var ref = new Firebase("https://<YOUR-FIREBASE-APP>.firebaseio.com");
    var auth = $firebaseAuth(ref);
  }
]);

Вот ссылка на Документы с точным руководством. Я бы посоветовал проследить все это, чтобы изучить огненную базу.