HTML - простой ввод в .txt

Для этого вам придется использовать PHP. Сделайте действие формы на вашей форме ссылкой на PHP-скрипт и внутри есть что-то вроде этого.

<?php
    $file = 'test.txt';
    $currentText = file_get_contents($file);
    $currentText .= $_POST['text'];
    file_put_contents($file, $currentText);
?>

Если ваш сервер может запускать php, тогда запрашивается следующая страница, когда пользователь нажимает кнопку "Отправить". (используя метод post)

<?php

    $in = $_POST['name'];
    $file = 'names.txt';
    // Open the file to get existing content
    $current = file_get_contents($file);
    // Append a new person to the file
    $current .= $in;
    // Write the contents back to the file
    file_put_contents($file, $current);
?>