Как ожидать выполнения одной задачи в двух разных потоках?

Могу ли я ждать в задаче, созданной в другом потоке? Например:

...
CurrentIteration = Execute(); // returns Task
await CurrentIteration;
...

А потом, по другой теме:

...
await CurrentIteration;
...

1. Будет ли второй поток ждать метода Execute для завершения выполнения?
2. Если это произойдет, смогу ли я повторно использовать CurrentIteration для этой же цели во втором потоке, учитывая, что я снова запускаю

CurrentIteration = Execute();//returns Task await CurrentIteration;

На первом потоке?

Я пробовал этот код:

public class Program
{
    public static void Main(string[] args)
    {
        MainAsync(args).GetAwaiter().GetResult();
    }
    public static async Task MainAsync(string[] args)
    {

        var instance = new SomeClass();
        var task = instance.Execute();
        Console.WriteLine("thread 1 waiting...");
        Task.Run(async () =>
        {
            Console.WriteLine("thread 2 started... waiting...");
            await task;
            Console.WriteLine("thread 2 ended!!!!!");
        });

        await task;

        Console.WriteLine("thread 1 done!!");

        Console.ReadKey();
    }
}


public class SomeClass
{
    public async Task Execute()
    {
        await Task.Delay(4000);
    }
}

Но он печатает

thread 1 waiting...
thread 2 started... waiting...

тогда

thread 1 done!!

но никогда thread 2 ended!!!!! , Почему это? Как я могу это достичь? Благодарю!