Как я могу получить список дочерних процессов для данной службы в C #?

Вам необходимо использовать WMI, класс Win32_Process включает в себя родительский идентификатор процесса. Таким образом, запрос WQL (см. Пространство имен System.Management для WMI под .NET), например:

SELECT * FROM Win32_Process Where ParentProcessId = n

заменяя n идентификатором процесса обслуживания.

EDIT Пример кода (на основе кода Arsen Zahray):

static List<Process> GetChildPrecesses(int parentId) {
  var query = "Select * From Win32_Process Where ParentProcessId = "
          + parentId;
  ManagementObjectSearcher searcher = new ManagementObjectSearcher(query);
  ManagementObjectCollection processList = searcher.Get();

  var result = processList.Select(p =>
    Process.GetProcessById(Convert.ToInt32(p.GetPropertyValue("ProcessId")));
  ).ToList();

  return result;
}