Как отправить почту на все электронные письма в моей таблице базы данных?

$ to не может быть массивом. Это должна быть строка. Несколько почтовых адресов должны быть разделены запятыми. Для этого вы можете использовать функцию php implode

$to = implode(',', $til_vagter);

Пример:

if ($action = 'message_til_flere') {
    $vagt_ansat_email = $_POST['vagt_ansat_email']; // never used in this part

    $select_alle_mails = " SELECT vagt_ansat_email FROM vagt_ansat_med_kategori WHERE vagt_kategori_id = $id ";

    $til_vagter = array();
    $result = mysql_query($select_alle_mails); // a connection to db is required
    while ($row = mysql_fetch_array($result)) { // fetch results as array
        $til_vagter[] = $row['vagt_ansat_email'];
    }

    $to = "[email protected]";

    $subject = "E-mail subject";
    $headers = 'From: mywebpage' . "\r\n";
    $headers .= 'Reply-To: mywebpage' . "\r\n";
    $headers .= 'BCC: ' . implode(', ', $til_vagter) . "\r\n";
    $message = "Test Body";

    mail($to, $subject, $message, $headers); // a message is required
}

Вы не выполнили запрос перед извлечением, и вы передали строку запроса в mysql_fetch_array() что неверно. это результат запроса, который вы хотите получить:

    $select_alle_mails = "SELECT vagt_ansat_email 
                          FROM vagt_ansat_med_kategori 
                          WHERE vagt_kategori_id = $id ";

    $result = mysql_query($select_alle_mails);
    $til_vagter = array();
    while ($row = mysql_fetch_array($result)) {...}

• mysql_ устарел
• использовать подготовленное выражение
• Я не уверен, что у mail() есть ограничение на получателя, но похоже, что вы должны отправить их в пакет
• См. @vonHergen и @dagon для @dagon других @dagon

Я лично отправил бы одну почту за один раз в цикле:

if ($action = 'message_til_flere') {
 //   $vagt_ansat_email = $_POST['vagt_ansat_email']; //not used?

    $select_alle_mails = " SELECT vagt_ansat_email FROM vagt_ansat_med_kategori WHERE vagt_kategori_id = $id ";

    //RUN QUERY
$sel_result = mysql_query($select_alle_mails); 

    while ($row = mysql_fetch_array($sel_result)) {


    $subject = "E-mail subject";
    $headers = 'From: mywebpage' . "\r\n";
    $headers .= 'Reply-To: mywebpage' . "\r\n";
     $message="dear bob, having fun?";
     mail($row['vagt_ansat_email'], $subject, $message, $headers);
 }