Поток, используемый для обработки данных последовательного порта «Этот BackgroundWorker в настоящее время занят и не может одновременно выполнять несколько задач»

geofftnz верен, и я немного расширю вас. Вы должны только запустить фоновый рабочий один раз, и попросите его вернуть данные в поток GUI с помощью ReportProgress. рабочий поток будет выглядеть примерно так.

private void backgroundWorker1_DoWork(object sender, DoWorkEventArgs e)
{
    BackgroundWorker worker = sender as BackGroundWorker;
    while(!e.CancellationPending)
    {
        ResultObject ro = new ResultObject();  // your own type here, obviously
        //Process and store some data in ro;
        worker.ReportProgress(0, ro);
        //Do not modify ro after reporting progress to avoid threading issues
    }
}

В графическом интерфейсе зарегистрируйтесь в событии ProgressChanged и только один раз запустите работника.

Попробуйте добавить это, чтобы убедиться, что фоновый рабочий работает только за одно задание за раз.

if(!backgroundWorker1.IsBusy)
    backgroundWorker1.RunWorkerAysnc();

У вас также есть возможность отменить текущее задание, вот пример кода

    private void WhereBackworkerStarts()
    {
        backgroundWorker.WorkerSupportsCancellation = true;

        if (backgroundWorker.IsBusy)
            backgroundWorker.CancelAsync();
        else
            backgroundWorker.RunWorkerAsync();
    }

    // Events
    static void backgroundWorker_DoWork(object sender, DoWorkEventArgs e)
    {
        for(int i = 0; i < int.MaxValue; i++)
        {
            if (backgroundWorker.CancellationPending)
            {
                e.Cancel = true;
                return;
            }

            // Do work here
        }
        e.Result = MyResult;
    }

    static void backgroundWorker_RunWorkerCompleted(object sender, RunWorkerCompletedEventArgs e)
    {
        // Deal with results
    }

Проблема в том, что вы вызываете backgroundWorker1.RunWorkerAsync(), прежде чем закончите с предыдущей операцией.

То, что вы, вероятно, хотите иметь, это один поток, который считывает последовательный порт, буферизует данные и уведомляет об этом основной поток пользовательского интерфейса.